Afstande mellem punkter i planen

Du har ikke nødvendigvis tænkt over det før, men hvordan måler man egentlig afstanden mellem to punkter i planen? “Ja, man finder afstanden mellem dem”, vil du måske sige, men det er jo ikke rigtigt et brugbart svar på spørgsmålet. Den afstand, du tænker på, er formentlig længden af det linjestykke, som forbinder de to punkter, men der findes faktisk mange andre måder at definere afstanden på. Det vil vi give et par eksempler på her.

For at blive lidt mere præcis forestiller vi os, at vi har to punkter i planen, som vi kalder for \(P(x_1,y_1)\) og \(Q(x_2,y_2)\).

Euklidisk afstand

Den euklidisk afstand mellem \(P\) og \(Q\) er \[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] Det er det, vi kender mest – og som formentlig er den afstand, du lige har tænkt på. Formlen ovenfor fremkommer ved at bruge Pythagoras.

I app’en herunder er den euklidiske afstand illustreret. Du kan flytte rundt på punkterne og se, hvordan afstanden ændrer sig.

Manhattanafstanden

Manhattanafstanden er den afstand, man får, når man er tvunget til at bevæge sig langs akserne, som vi kender det fra vejene i mange amerikanske byer, herunder på Manhattan. Den kaldes også taxi-afstanden. Formlen for at bestemme Manhattanafstanden er: \[|x_2-x_1|+|y_2-y_1|\] I app’en herunder er Manhattanafstanden illustreret. Du kan flytte rundt på punkterne og se, hvordan afstanden ændrer sig.

Max-afstanden

Max-afstanden er maksimum mellem den vandret og lodrette afstand mellem \(P\) og \(Q\). Det vil sige, maksimum af \(|x_2-x_1|\) og \(|y_2-y_1|\).

Den kaldes også skak-konge afstanden. Kongen i skak kan gå diagonalt eller langs de to akser. Et diagonalt move fra \((a,b)\) til \((a+k,b+k)\) tænkes at have længde \(k\) – som i skak. Skal man fra eksempelvis \(A(1,4)\) til \(B(3,7)\) kan skakkongen gå fra \(A(1,4)\) til \(C(3,6)\) – det stykke har længde \(2\) og derefter fra \(C(3,6)\) til \(B(3,7)\) langs \(y\)-aksen - et stykke på længde \(1\). Samlet afstand er \(3\), maksimum af \(|3-1|\) og \(|7-4|\). Idéen er illustreret i figur 1.

Figur 1: Kongen i skak skal fra \(A\) til \(B\) via \(C.\) Bemærk, at der også er andre veje fra \(A\) til \(B\) med afstand \(3\). For eksempel kan kongen gå fra \(A(1,4)\) til \((1,5)\) (det giver en afstand på \(1\)) og dernæst lave et diagonalt move fra \((1,5)\) til \(B(3,7)\) med en afstand på \(2\). Den samlede afstand bliver igen \(1+2=3\). Der er altså flere korteste veje fra \(A\) til \(B\).

I app’en herunder er max-afstanden illustreret. Du kan flytte rundt på punkterne og se, hvordan afstanden ændrer sig.

Posthusafstanden

Posthusafstanden¹ mellem \(P\) og \(Q\) finder man, ved at tænke på, at der ligger et posthus i origo \(O(0,0)\), og vi skal sende et brev fra \(P\) til \(Q\). Det bliver transporteret fra \(P\) til posthuset først og derefter fra posthuset til \(Q\). Hvis man anvender Pythagoras to gange, kan man se, at formlen for denne afstand er: \[\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\] I app’en herunder er posthusafstanden illustreret. Du kan flytte rundt på punkterne og se, hvordan afstanden ændrer sig.

¹ Den hedder også British Rail afstanden eller, hvis man er fransk, SNCF (Société Nationale des Chemins de fer Français) -afstanden. Man tænker sig, at man altid skal rejse via London (eller Paris) for at komme med tog fra et sted til et andet.