Tangentplaner

Vi vil her forklare, hvordan man bestemmer ligningen for en tangentplan til grafen for en funktion af to variable. Som eksempel vil vi igen bruge:

\[ f(x,y)= 2x^2-y^2+3xy+1. \]

På figuren herunder ses grafen for funktionen \(f\) sammen med grafen for snitfunktionen \(g(x)=f(x,y_0)\), hvor \(y_0=-2\). Derudover er tangenten til grafen for \(g\) i punktet \(P(x_0, y_0, f(x_0,y_0))=P(1,-2,-7)\) indtegnet (stiplet linje).

Vi har tidligere beregnet, at denne tangent har en hældning på \(-2\), men helt generelt vil hældningen være \(f_x(x_0,y_0)\). Det betyder grafisk, at hvis vi står i punktet \(P\) og gerne vil bevæge os langs tangenten, så skal vi: Bevæge os \(1\) enheden i \(x\)-aksens retning, \(0\) enheder i \(y\)-aksens retning (husk på at snitkurven forløber i planen med ligning \(y=y_0\), hvor \(y\) er fastholdt, og dermed ikke ændrer sig) og \(f_x(x_0,y_0)\) enheder i \(z\)-aksens retning. Dermed vil en retningsvektor for denne tangent være

\[ \vec{r_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x(x_0,y_0) \end{pmatrix}. \]

På helt tilsvarende vis vil grafen for snitfunktionen \(h(y)=f(x_0,y)\) have en tangent i punktet \(P(x_0, y_0, f(x_0,y_0))\) med hældning \(f_y(x_0,y_0)\). Dette er illustreret med eksemplet fra før herunder.

I det konkrete eksempel er hældningen af denne tangent \(7\). Generelt vil en retningsvektor for tangenten være

\[ \vec{r_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y(x_0,y_0) \end{pmatrix}. \]

Som bekendt udspænder to vektorer en plan og den plan, som disse to retningsvektorer udspænder kaldes for tangentplanen¹ til grafen for \(f\) i punktet \(P(x_0, y_0, f(x_0,y_0))\). Man kan igen tænke på grafen for \(f\) som en bakke. Hvis vi står i punktet \(P\) og placerer en bordplade i punktet, så vil denne bordplade svare til tangentplanen (eller rettere en del af den).

¹ Mere formelt er det faktisk sådan, at hvis alle tangentvektorer til alle snitkurver i et punkt \(P\) ligger i en plan, så kaldes denne plan for tangentplanen. Men her er det fint bare at tænke på, at de to retningsvektorer \(\vec{r_1}\) og \(\vec{r_2}\) udspænder en plan – og så vil det som regel være sådan for de "pæne" funktioner, vi beskæftiger os med, at denne plan også indeholder alle andre tangentvektorer og dermed formelt set vil være tangentplanen.

Vi vil nu finde en ligning for tangentplanen. Vi minder om, at en plan gennem punktet \((x_0,y_0,z_0)\) med normalvektor

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \]

har ligning

\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0)=0. \tag{1}\]

Vi husker også på, at en normalvektor til en plan, kan fås ved at krydse to retningsvektorer til planen. Derfor vil en normalvektor til tangentplanen være:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x(x_0,y_0) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y(x_0,y_0) \end{pmatrix} \]

Det giver

\[ \begin{aligned} \vec{n}&= \begin{pmatrix} 0 \cdot f_y(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) \cdot 1 \\ f_x(x_0,y_0) \cdot 0 - 1 \cdot f_y(x_0,y_0) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - f_x(x_0,y_0) \\ -f_y(x_0,y_0) \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \] Indsættes dette i planens ligning i (1) fås

\[ - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+ (z-f(x_0,y_0))=0. \] Hvilket efter lidt omrokeringer giver \[ z=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0). \tag{2}\]

Dette er den generelle ligning for tangentplanen til grafen for \(f\) i punktet \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\).

I eksemplet er

\[ x_0=1, \quad y_0=-2, \quad f(1,-2)=-7, \quad f_x(1,-2)=-2, \quad \textrm{og} \quad f_y(1,-2)=7 \] Indsættes dette i (2) fås

\[ \begin{aligned} z &= -2(x-1)+7(y+2)-7 \quad \Leftrightarrow \\ z &= -2x+7y+9 \end{aligned} \] Denne tangentplan ses tegnet sammen med grafen for \(f\) herunder.